PHYSICS STUDIO

うなりとは。。。振動数の異なる２つの音を同時に観測すると

　　　　　　　　　　　　　音の大きさ(ボリューム)が周期的に変化する現象

<うなりの公式>
図１のように，音叉1と２から振動数\(\color[RGB]{0,0,0}\ f_1\)［Hz］と\(\color[RGB]{0,0,0}\ f_2\)［Hz］の音波を観測者が聞くとき，１秒間あたりのうなりの回数\(\color[RGB]{0,0,0}\ n\)［回］は， 公式は簡単に見えるがこれを導くのは以外に大変である。図の右向きを速度の正方向として\(\color[RGB]{0,0,0}\ x\)軸を取る。音叉1から出た音波の位置\(\color[RGB]{0,0,0}\ x\)における時刻\(\color[RGB]{0,0,0}\ t\)の波の式は
\(\color[RGB]{0,0,0}y_1=Asin2π(\ f_1 \cdot t -\frac{ x }{\ λ_1 })\)
であり，音叉２から左向きに進んだ音波の位置\(\color[RGB]{0,0,0}\ x\)における時刻\(\color[RGB]{0,0,0}\ t\)の波の式は
\(\color[RGB]{0,155,0}y_2=Asin2π(\ f_2 \cdot t +\frac{ x }{\ λ_2 })\)
である。観測者はこの２つの音を同時に観測するので、波の重ね合わせの原理より，合成波\(\color[RGB]{0,0,0}\ Y(x,t)\)は，\(\color[RGB]{0,0,0}\ y_1+y_2\)と単純な和となる。よって，
\(\color[RGB]{0,0,0}y_1+y_2=Asin2π(\ f_1 \cdot t -\frac{ x }{ λ_1 })+\color[RGB]{0,155,0}Asin2π(\ f_2 \cdot t +\frac{ x }{\ λ_2 })\) である。
和積変換より\(\color[RGB]{0,0,155}sinα+sinβ=2sin\frac{ α+β }{ 2 }cos\frac{ α-β }{ 2 }\)'を用いると、
合成波\(\color[RGB]{0,0,0}\ Y(x,t)=2Asinπ\Bigr(\ (f_1+f_2) \cdot t -(\frac{ 1 }{ λ_1 }-\frac{ 1 }{ λ_2 }) \cdot x \Bigr) \times cosπ\Bigr(\ (f_1-f_2) \cdot t -(\frac{ 1 }{ λ_1 }+\frac{ 1 }{ λ_2 }) \cdot x \Bigr)\)
という式で表す事ができる。
\(\color[RGB]{0,0,0}\ Y(x,t)=2A \cdot \) \(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-y}{sinπ\Bigr(\ (f_1+f_2) \cdot t -(\frac{ 1 }{ λ_1 }-\frac{ 1 }{ λ_2 }) \cdot x \Bigr)} \color[RGB]{0,0,0}\ \times\) \(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-g}{cosπ\Bigr(\ (f_1-f_2) \cdot t -(\frac{ 1 }{ λ_1 }+\frac{ 1 }{ λ_2 }) \cdot x \Bigr)} \)

　　　　　　　　　　　激しく振動する部分    　　✖        ️　ゆっくり振動する部分

もう少し式を見やすくしたいので，観測者を原点Oにおき，\(\color[RGB]{0,0,0}\ x=0\)とすると，
\(\color[RGB]{0,0,0}\ Y(0,t)=2A \cdot \) \(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-y}{sin\Bigr(\ 2π\frac{ f_1+f_2 }{ 2 } \cdot t \Bigr)} \color[RGB]{0,0,0}\ \times\) \(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-g}{cos\Bigr(\ 2π\frac{ f_1-f_2 }{ 2 } \cdot t\Bigr)} \)

　　   激しく振動する部分(図４)　　✖️  ゆっくり振動する部分(図３)

例えば、それぞれの音叉の振動数を\(\color[RGB]{0,0,0}\ f_1=1001Hz\)，\(\color[RGB]{0,0,0}\ f_2=1000Hz\)とすると，
\(\color[RGB]{0,0,0}\ \frac{ f_1+f_2 }{ 2 } =1000.5Hz\)となり，激しく振動する部分である \(\color[RGB]{255,255,255}\class{mathbg-y}{2π\frac{ f_1+f_2 }{ 2 } \cdot t }\)は\(\color[RGB]{0,0,0}\ t=1\)秒とすると、\(\color[RGB]{0,0,0}\ 2π \times 1000.5\)なので，１秒間の間に約1000回も振動することになる!!!!
次に、ゆっくりと振動する部分を観察してみると，\(\color[RGB]{0,0,0}\ \frac{ f_1-f_2 }{ 2 } =0.5\)となり，ゆっくり振動する部分である \(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-g}{2π\frac{ f_1-f_2 }{ 2 } \cdot t } \)は\(\color[RGB]{0,0,0}\ t=1\)秒とすると、\(\color[RGB]{0,0,0}\ 2π \times 0.5\)なので，１秒間の間に約0.5回振動する。つまり，１秒間の間に、激しく振動する部分は1000.5回揺れる間に、ゆっくり振動するする部分は0.5回しか振動していないことになる。ここで，ゆっくり振動する部分を『概形決定部分』と名付け、激しく振動する部分を『概形決定部分に閉じ込められた小鳥』とでも名付けてみる。まさに，cosという檻(おり)の中に閉じ込められた小鳥が激しくsinで振動するようなイメージである。
したがって，うなりの図２より、強弱強(山谷山)の間はゆったりとした周期の半分なので、cos関数の位相の部分である\(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-g}{2π\frac{ f_1-f_2 }{ 2 } \cdot t =\ π } \)より，\(\color[RGB]{255,255,255} \class{mathbg-r}{ΔT = \frac{ 1 }{ f_1-f_2 } } \)となる。
したがって，単位時間当たり(1秒間での)うなりの回数は となり，うなりの公式と一致する。